لقد صنع علماء الرياضيات أجمل حجر نرد في العالم، فهو ذو 60 وجهًا ولا يمكن أن ينتهي بالتعادل أبدًا

على العشاء في مؤتمر الألعاب في عام 2010 تقريبًا، مصمم ألعاب الطاولة جيمس ارنست التفت إلى صديقه إريك هارشبرجر وطرحت سؤالاً: هل يمكنك تصميم مجموعة من أحجار النرد بحيث يستطيع كل لاعب في المجموعة – سواء كان شخصين أو أي رقم – أن يمسك بواحدة ويرميها ويحصل على فرصة متساوية تمامًا في البدء أولاً؟ القاعدة بسيطة: قم برمي النرد الخاص بك، ومن يحصل على أعلى رقم يذهب أولاً. والجزء الأصعب هو جعل هذه النتيجة عادلة حقًا لكل لاعب، بغض النظر عن عدد الجالسين على الطاولة.

لا يمكن أن تكون هناك روابط ولا إعادة تدوير.

ولم يكن لدى هارشبارجر، عالم الرياضيات في جامعة أوبورن في ألاباما، إجابة في تلك الليلة. لكن السؤال عالق. على مدار الخمسة عشر عامًا التالية، عمل هو وشبكة واسعة من المتعاونين بشكل عرضي على حل ما أصبح يُعرف باسم مشكلة “اذهب أولاً إلى النرد”.

الآن، أصبح لديهم الجواب أخيرًا: مجموعة من خمسة أحجار نرد ذات 60 جانبًا، محفورة بشكل جماعي بكل رقم بين 1 و300، بدون تكرار. للاحتفال بهذا الإنجاز، قام هارشبارجر ببناء خمس نسخ خشبية عملاقة من هذه الأشكال السداسية (أشكال ثلاثية الأبعاد ذات 60 جانبًا)، كل منها منحوتة من نوع مختلف من الخشب. وهي الآن معروضة بشكل دائم في مبنى الرياضيات الجديد في أوبورن.

المشكلة مع النرد

لفهم سبب صعوبة حل المشكلة، من المفيد أن نفهم الجزء البسيط منها.

قال هارشبارجر لموقع Live Science: “الشيء السهل هو تجنب الارتباطات؛ ما عليك سوى وضع أرقام مختلفة على كل أحجار النرد”. “تكمن المشكلة في كيفية توزيع هذه الأرقام المختلفة عبر حجر النرد بحيث يكون الاحتمال متساويًا ليس فقط للمجموعة بأكملها ولكن لأي مجموعة فرعية.”

وهذا الشرط الثاني هو ما يجعل المشكلة شيطانية. لم يكن طلب إرنست يقتصر على أن يتمكن ثمانية لاعبين من اللعب بشكل عادل؛ كان ذلك أي يمكن لمجموعة فرعية من اللاعبين انتزاع أي نرد من لفة الحقيبة ولا يزال لديهم احتمالات متساوية. إذا لعب خمسة أشخاص، يأخذ كل منهم حجر النرد. ثلاثة أشخاص؟ نفس الشيء. كان لا بد من ترتيب الأرقام الموجودة على كل نرد بحيث تظل العدالة قائمة بغض النظر عن عدد الأشخاص الذين حضروا للعب.

تحدث Harshbarger مع صديق طفولته روبرت فورد، عالم رياضيات في كلية ولاية دالتون. وفي غضون أسابيع، كان لديهم حل ثلاثي اللاعبين: الأرقام من 1 إلى 18، موزعة على ثلاثة أحجار نرد قياسية سداسية الجوانب بالترتيب الصحيح تمامًا. أربعة أحجار نرد ذات 12 وجهًا، تم صنعها فورد لاحقًا يدويًا بالكامل، يمكن أن تستوعب أربعة لاعبين بشكل عادل.

بحلول عام 2012، كان Harshbarger يلقي محادثات حول مجموعة اللاعبين الأربعة في مؤتمرات الرياضيات، و غطت صحيفة الغارديان القصة. اندلع صندوق الوارد الخاص به. بدأ في بيع مجموعات مصنوعة يدويًا من المنزل – حيث اشترى نردًا فارغًا ذو 12 وجهًا؛ حفر الأرقام على كل وجه باستخدام آلة القطع بالليزر في ورشته؛ ومن ثم التحبير على كل رقم باليد. وفي ذروته، كان يسلم 30 ظرفًا إلى مكتب البريد في المرة الواحدة، عدة مرات في الأسبوع، ويشحن مجموعات إلى العملاء حول العالم.

ولكن مع تعمق الفريق في الأمر الرياضياتاكتشفوا أن النرد كان يفعل شيئًا أكثر روعة مما أدركوه: لم تحدد التكوينات من الذي ذهب أولاً فحسب، بل حددت أيضًا ترتيب الأدوار بالكامل، مع احتمال ظهور كل تسلسل ممكن من اللاعبين بشكل متساوٍ.

وقال هارشبارجر: “إذا تدحرج أربعة أشخاص، فإن احتمال إنهاء اللاعبين بالترتيب A، B، C، D كان محتملًا تمامًا مثل C، B، D، A، أو أي من هذه المجموعات”. “إن عبارة “اضرب النرد أولاً” هي في الواقع تسمية خاطئة إلى حدٍ ما، لأنها تفعل أكثر بكثير من مجرد تحديد من يذهب أولاً؛ فهي في الواقع تحدد ترتيب جميع اللاعبين.”

أصبحت هذه الخاصية، التي يسميها الفريق عدالة التقليب، هي المعيار الذي طاردوه لكل مجموعة من أحجار النرد منذ تلك اللحظة فصاعدًا.

مجموعات أكثر من الذرات في الكون

أربعة لاعبين كان شيئا واحدا. وكان خمسة آخر تماما.

رياضياً، كان الفريق يعلم أن مجموعة من خمسة لاعبين من نفس الشكل أمر ممكن. لكن العثور عليه يعني البحث في مساحة كبيرة غير مفهومة من ترتيبات الأعداد المحتملة.

“نحن نتحدث حرفيا أكثر من عدد الذرات في الكون – مثل 10 أس 128، قال هارشبارجر. “لا توجد طريقة، حتى لو كان لدينا مليار مليار سنة وجميع أجهزة الكمبيوتر، وكل الذكاء الاصطناعي. وما زلنا غير قادرين على القيام بذلك اليوم.”

لم يتمكنوا من القوة الغاشمة في طريقهم إلى الإجابة. لقد احتاجوا إلى اختصارات رياضية: التماثلات والأنماط لتقليص مساحة البحث. ولكن حتى ذلك الحين، مرت سنوات دون حل عملي. كل مسار وجدوه يصطدم بالحائط نفسه: نرد كبير جدًا بحيث لا يمكن حمله، وجوانب كثيرة جدًا لتصنيعها.

قال هارشبارجر: “كان هدفي مجموعة مكونة من خمسة لاعبين يمكن تصنيعهم فعليًا، ويمكنك حملهم بيدك، ويمكن للاعبين شراؤهم وتشغيلهم”. “حتى بالنسبة للمشكلة السخيفة والتي لا معنى لها فيما يتعلق باللعب – فقط من الناحية الرياضية، هل يمكنك شراء هذه الأشياء ورميها، وهي تعمل؟ لا يمكنك فعل ذلك باستخدام نرد ذو 180 وجهًا.”

ثم، في منتصف عام 2023، أرسل مهندس البرمجيات الكندي بول ماير بريدًا إلكترونيًا إلى Harshbarger بشكل مفاجئ. لقد كان يدرس الأنماط الموجودة في بيانات Harshbarger الأربعة للاعبين وكتب برنامجًا لاستغلالها. لم يكن يتوقع أن يعمل على الفور.

فعلت. وجد ماير تكوينًا لـ خمسة نردات ذات 60 وجهًا التي استوفت كل شرط.

وقال هارشبارجر: “لقد قمت بفحص عمله مرة أخرى وقلت: يا إلهي، لقد كنا نبحث عن هذا لفترة طويلة. هذا مذهل”.

من ورشة العمل إلى جدار المعرض

تم اختيار المجموعة المكونة من أربعة لاعبين منذ فترة طويلة من قبل تجار التجزئة – معدات الرياضيات في المملكة المتحدة و متعة فن الرياضيات في الولايات المتحدة – لذلك توقفت شركة Harshbarger عن الصناعة اليدوية قبل تلك السنوات. الآن، أصبحت النسخة المكونة من خمسة لاعبين حقيقية وصغيرة بما يكفي لتصنيعها.

لكن القصة كان لها منعطف آخر. كانت جامعة أوبورن تبني منزلًا جديدًا لقسم الرياضيات وكانت تبحث عن أفكار نحتية لملئه. اقترح Harshbarger بناء نسخ عملاقة من النرد الخمسة الجديدة من الخشب. وافقت الدائرة.

أمضى أشهرًا في ورشة الأخشاب الخاصة به، حيث كان يصنع خمسة أحجار نرد كبيرة الحجم. كل منها مصنوع من نوع مختلف من الخشب: الصنوبر أو الحور أو البلوط أو الجوز أو الماهوجني. التماثيل الخمسة تقف الآن مبنى الرياضيات الجديد في أوبورن، الذي افتتح هذا الخريف.

بالنسبة لهارشبارجر، بيت القصيد هو جعل الرياضيات مستحيلة.

وقال: “عندما يرى الناس نردًا عملاقًا أو نردًا صغيرًا، فإنهم مفتونون فقط بالهندسة”. “الأمل هو أن يرون هذه الأشياء ويقولوا: “أوه، هذه رياضيات أيضًا، وهذا مثير للاهتمام.” بعض المسائل الرياضية الأكثر متعة هي تلك التي يسهل فهمها ولا يمكن الإجابة عليها بسهولة.”